Περιεχόμενα
Για περισσότερα από 2.000 χρόνια, το κείμενο του Ευκλείδη ήταν το παράδειγμα της μαθηματικής επιχειρηματολογίας και συλλογισμού. «Ο Ευκλείδης ξεκινάει με «ορισμούς» που είναι σχεδόν ποιητικοί», άλλωστε, όπως τονίζει ο Τζέρεμι Αβίγκαντ από το Πανεπιστήμιο Carnegie Mellon.
«Έπειτα έχτισε τα μαθηματικά της εποχής πάνω από αυτό, αποδεικνύοντας τα πράγματα με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε διαδοχικό βήμα «ακολουθεί ξεκάθαρα» τα προηγούμενα, χρησιμοποιώντας τις βασικές έννοιες, τους ορισμούς και τα προηγούμενα θεωρήματα». Υπήρχαν παράπονα ότι ορισμένα από τα «προφανή» βήματα του Ευκλείδη ήταν λιγότερο διακριτά, είπε ο Δρ Avigad, ωστόσο το σύστημα λειτούργησε.
Από τον 20ο αιώνα και ύστερα, οι μαθηματικοί δεν κατάφερναν με την ίδια ευκολία να αποτυπώσουν με απλότητα τις θεωρίες των σοφών. Κατάφεραν ωστόσο να αναπτύξουν συστήματα, ακριβείς συμβολικές αναπαραστάσεις, μηχανικούς κανόνες, γεγονός που επέτρεψε τη μετάφραση των μαθηματικών σε κώδικα, δηλαδή στον υπολογιστή. Το 1976, το θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων – το οποίο δηλώνει ότι τέσσερα χρώματα είναι αρκετά για να γεμίσουν έναν χάρτη έτσι ώστε να μην υπάρχουν δύο γειτονικές περιοχές το ίδιο χρώμα, έγινε το πρώτο σημαντικό θεώρημα που αποδείχθηκε με τη βοήθεια της υπολογιστικής δύναμης.
Η τελευταία μεταμορφωτική δύναμη: Η τεχνητή νοημοσύνη
Το 2019, ο Christian Szegedy, προγραμματιστής στο παρελθόν στην Google και τώρα σε start-up στην περιοχή του Κόλπου στον Σαν Φρανσίσκο, προέβλεψε ότι ένα σύστημα υπολογιστή θα ταίριαζε ή θα ξεπερνούσε την ικανότητα επίλυσης προβλημάτων των καλύτερων μαθηματικών μέσα σε μια δεκαετία. Πέρυσι αναθεώρησε την ημερομηνία-στόχο έως το 2026.
Ο Akshay Venkatesh, μαθηματικός στο Ινστιτούτο Προηγμένων Μελετών στο Πρίνστον και νικητής του Fields το 2018, δεν ενδιαφέρεται επί του παρόντος να χρησιμοποιήσει A.I. και επιμένει:
«Θέλω οι μαθητές μου να συνειδητοποιήσουν ότι ο τομέας στον οποίο βρίσκονται πρόκειται να αλλάξει πολύ. Δεν είμαι αντίθετος στη στοχαστική και σκόπιμη χρήση της τεχνολογίας για την υποστήριξη της ανθρώπινης κατανόησής μας. Αλλά πιστεύω ακράδαντα ότι η προσοχή σχετικά με τον τρόπο που τη χρησιμοποιούμε είναι απαραίτητη».
Αυτές τις μέρες δεν υπάρχει έλλειψη συσκευών για τη βελτιστοποίηση της ζωής σε όλους τους τομείς. Το gadgetry μπορεί να κάνει το ίδιο για τα μαθηματικά, αλλά πλέον το ερώτημα είναι σαφές:
«Tι μπορούν να κάνουν οι μηχανές για εμάς, όχι τι θα κάνουν οι μηχανές σε εμάς».
Το «Automath» ήταν μια πρώιμη ενσάρκωση αυτής της ιδέας τη δεκαετία του 1960. Βήμα-βήμα, ένας μαθηματικός μεταφράζει μια απόδειξη σε κώδικα. Ένα πρόγραμμα λογισμικού ελέγχει εάν η συλλογιστική είναι σωστή. Αυτός ο τύπος παρέχει τη βάση για τα μαθηματικά σήμερα, είπε ο Δρ. Avigad, ο οποίος είναι ο διευθυντής του Hoskinson Center for Formal Mathematics (που χρηματοδοτείται από τον επιχειρηματία κρυπτογράφησης Charles Hoskinson). «Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο που ο Ευκλείδης προσπαθούσε να κωδικοποιήσει και να παρέχει μια βάση για τα μαθηματικά της εποχής του» τονίζει.
Τελευταία, το ανοιχτού κώδικα σύστημα απόδειξης Lean τραβάει την προσοχή. Αναπτύχθηκε στη Microsoft από τον Leonardo de Moura, έναν επιστήμονα υπολογιστών που τώρα ερζάζεται στην Amazon.
Το Lean χρησιμοποιεί αυτοματοποιημένη συλλογιστική, η οποία τροφοδοτείται από αυτό που είναι γνωστό ως Old-Fashioned τεχνητή νοημοσύνη ή GOFAI, εμπνευσμένη από τη λογική. Μέχρι στιγμής, η κοινότητα Lean έχει επαληθεύσει ένα ενδιαφέρον θεώρημα σχετικά με τη στροφή μιας σφαίρας από μέσα προς τα έξω.
Mειονεκτήματα βέβαια, εντοπίζονται και σε τέτοιες περιπτώσεις. Συχνά, δεν γίνονται αντιληπτοί οι ορισμοί, τα αξιώματα ή τα συλλογιστικά βήματα που εισάγει ο μαθηματικό, γεγονός που κάνει την έρευνα δυσκίνητη. Αλλά η Heather Macbeth, μια μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο Fordham, είπε ότι αυτό το χαρακτηριστικό, κάνει επίσης τα συστήματα χρήσιμα για τη διδασκαλία.
Η ίδια σχεδίασε ένα «δίγλωσσο» μάθημα, μεταφράζοντας κάθε πρόβλημα που παρουσιάζεται στον μαυροπίνακα σε Lean κώδικα στις σημειώσεις της διάλεξης και οι μαθητές υπέβαλαν λύσεις σε υποθέσεις εργασίας στο σπίτι σε Lean. «Τους έδωσε αυτοπεποίθηση», υπογράμμισε, επειδή έλαβαν άμεση ανατροφοδότηση για το πότε ολοκληρώθηκε η απόδειξη και αν κάθε βήμα στην πορεία ήταν σωστό ή λάθος.
Βάναυσος λόγος — αλλά είναι μαθηματικά;
Ένα άλλο εργαλείο αυτοματοποιημένης συλλογιστικής, που χρησιμοποιείται από τον Marijn Heule, μηχανικό υπολογιστών στο Πανεπιστήμιο Carnegie Mellon και ερευνήτρια της Amazon, είναι αυτό που αποκαλεί στην καθομιλουμένη «ωμή συλλογιστική» (ή, πιο τεχνικά, Satisfiability, ή SAT, λύτης). Με μια προσεκτικά κατασκευασμένη κωδικοποίηση και ένα δίκτυο υπερυπολογιστών αναμειγνείονται μέσω ενός χώρου αναζήτησης που καθορίζει εάν υπάρχει ή όχι αυτή η οντότητα.
Το DeepMind της Google, είναι ένα άλλο σύνολο εργαλείων που χρησιμοποιεί η μηχανική μάθηση, η οποία συνθέτει πλήθος δεδομένων και ανιχνεύει μοτίβα, υστερεί ωστόσο στον βήμα προς βήμα συλλογισμό.
Ο Yuhuai “Tony” Wu, επιστήμονας υπολογιστών στο παρελθόν στην Google, έχει σκιαγραφήσει έναν μεγαλύτερο στόχο μηχανικής μάθησης: να επιλύσει μαθηματικά. Στη Google, ο ίδιος διερεύνησε τον τρόπο που τα γλωσσικά μοντέλα που ενδυναμώνουν τα chatbots μπορούν να βοηθήσουν στα μαθηματικά. Η ομάδα χρησιμοποίησε ένα μοντέλο που εκπαιδεύτηκε σε δεδομένα Διαδικτύου και στη συνέχεια βελτιώθηκε σε ένα μεγάλο σύνολο δεδομένων πλούσιο σε μαθηματικά, χρησιμοποιώντας, για παράδειγμα, ένα διαδικτυακό αρχείο μαθηματικών και επιστημονικών εργασιών.
Όταν ζητήθηκε σε απλά αγγλικά να λύσει μαθηματικά προβλήματα, αυτό το εξειδικευμένο chatbot, που ονομαζόταν Minerva, ήταν «αρκετά καλό στο να μιμείται ανθρώπους», είπε ο Δρ Γου στο εργαστήριο. Το μοντέλο έλαβε βαθμολογίες που ήταν καλύτερες από έναν μέσο 16χρονο μαθητή στις εξετάσεις μαθηματικών γυμνασίου.
Τελικά, είπε ο Δρ Γου, οραματίστηκε έναν «αυτοματοποιημένο μαθηματικό» που έχει «την ικανότητα να λύνει ένα μαθηματικό θεώρημα μόνος του».
Τα μαθηματικά ως «λυδία λίθος»
Οι μαθηματικοί έχουν απαντήσει σε αυτές τις διακυμάνσεις με ποικίλους τρόπους. Ο Μάικλ Χάρις, στο Πανεπιστήμιο Κολούμπια, εκφράζει ενδοιασμούς. Τον προβληματίζουν οι δυνητικά αντικρουόμενοι στόχοι και αξίες των μαθηματικών της έρευνας και της τεχνολογίας και της αμυντικής βιομηχανίας. Σε πρόσφατο ενημερωτικό δελτίο, σημείωσε ότι ένας ομιλητής σε ένα εργαστήριο που οργανώθηκε από τις Εθνικές Ακαδημίες Επιστημών, ήταν εκπρόσωπος του Booz Allen Hamilton, κυβερνητικού εργολάβου για τις υπηρεσίες πληροφοριών και τον στρατό.
Ο Δρ Χάρις εξέφρασε τη λύπη του για την έλλειψη συζήτησης σχετικά με τις μεγαλύτερες επιπτώσεις της A.I. σχετικά με τη μαθηματική έρευνα, ιδιαίτερα «σε αντίθεση με την πολύ ζωντανή συζήτηση που διεξάγεται» σχετικά με την τεχνολογία «σχεδόν παντού εκτός από τα μαθηματικά».
Ο Geordie Williamson, από το Πανεπιστήμιο του Σίδνεϊ και συνεργάτης του DeepMind, μίλησε στο N.A.S. και ενθάρρυνε μαθηματικούς και επιστήμονες υπολογιστών να συμμετέχουν περισσότερο σε τέτοιες συζητήσεις. Στο εργαστήριο στο Λος Άντζελες, άνοιξε την ομιλία του με απόσπασμα από το «Εσύ και η ατομική βόμβα», ένα δοκίμιο του 1945 του Τζορτζ Όργουελ. «Δεδομένου του πόσο πιθανό είναι να επηρεαστούμε όλοι βαθιά μέσα στα επόμενα πέντε χρόνια, η βαθιά μάθηση δεν έχει προκαλέσει τόση συζήτηση όσο θα περίμενε κανείς».
Ο Δρ Ουίλιαμσον θεωρεί τα μαθηματικά μια… λυδία λίθο για το τι μπορεί ή δεν μπορεί να κάνει η μηχανική μάθηση. Η συλλογιστική είναι η πεμπτουσία για τη μαθηματική διαδικασία και το κρίσιμο άλυτο πρόβλημα της μηχανικής μάθησης.
Κατά τη διάρκεια της συνεργασίας του Δρ. Ουίλιαμσον με το DeepMind, η ομάδα βρήκε ένα απλό νευρωνικό δίκτυο που προέβλεπε «μια ποσότητα στα μαθηματικά που με ένοιαζε πολύ», είπε σε μια συνέντευξη. Ο Δρ. Ουίλιαμσον προσπάθησε να καταλάβει γιατί – αυτό θα ήταν η δημιουργία ενός θεωρήματος – αλλά δεν μπορούσε. Ούτε θα μπορούσε κανείς στο DeepMind. Όπως ο αρχαίος γεωμέτρης Ευκλείδης, το νευρωνικό δίκτυο είχε διακρίνει με κάποιο τρόπο διαισθητικά μια μαθηματική αλήθεια…
Στο εργαστήριο του Λος Άντζελες, ένα σημαντικό θέμα ήταν πώς να συνδυάσετε το διαισθητικό και το λογικό. Εάν το A.I. μπορούσε να κάνει και τα δύο ταυτόχρονα, όλα τα στοιχήματα θα ήταν εκτός συναγωνισμού.
Πρόσθεσε ότι η προσπάθεια κατανόησης του τι συμβαίνει μέσα σε ένα νευρωνικό δίκτυο εγείρει «συναρπαστικά μαθηματικά ερωτήματα» και ότι η εύρεση απαντήσεων παρέχει μια ευκαιρία για τους μαθηματικούς «να συνεισφέρουν ουσιαστικά στον κόσμο».
